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miércoles, 4 de junio de 2014

Motivaciones y expectativas

Este blog nace con la idea de ser un medio para explorar el lado curioso y divertido de las matemáticas, para descubrir como las matemáticas pueden dar respuestas certeras a nuestros problemas, aunque sean sorprendentes y nos cueste trabajo creerlas.

Un buen ejemplo es el post siguiente en el que se trata uno de los problemas más curiosos de la probabilidad el problema de Monty Hall.

Espero tener aportaciones de todos vosotros. Este blog se hará con vuestras entradas y las mías de forma colaborativa, con el fin de poder encontrar el lado divertido a una asignatura que muchas veces sólo muestra su lado más árido y aburrido.

Cuento con vosotros en esta empresa.

Un saludo y espero pronto vuestras aportaciones

Las cabras, las puertas y el concurso. El problema de Monty Hall

Este problema está basado en el programa que presentaba Monty Hall. Este programa era un concurso de la televisión estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un trato).

PLANTEAMIENTO
El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y comunicado su elección a los presentes, Monty, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abrirá una de las otras dos y mostrará que detrás hay una cabra. A continuación, le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La mayor parte de la gente diría que da igual cambiar o no cambiar porque hay dos puertas y entonces las probabilidades de encontrar la cabra o el coche son las mismas, pero analicemos este problema con más detenimiento.

SOLUCIÓN
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Veremos esta solución resumida en un esquema para su mejor comprensión: